Мы все переживали собственные неудобные моменты. Случается что-то непредвиденное, возникает какое-то напряжение между людьми и собственная тревожность, и вам бы на самом деле хотелось это просто пережить и забыть, что это вообще было. Ну а если вы строгий математик и все, во что вы верили, только что было поставлено под сомнение?
Математика всегда пыталась понять мир при помощи логики и передачи его посредством строго определенного, математического языка. Это действительно показательно, поучительно и весело: наблюдать за математикой, когда она останавливается (на мгновение), чтобы разобраться в чем-то.
1. Открытие иррациональных чисел
Истоки математической строгости лежат в Древней Греции, где математическая мысль была чем-то близким к религиозным учениям, а числам приписывали священные свойства.
Школа пифагорейцев, оккультная группа ранних математиков, двигавших вперед математические знания, подобно всем культам, была основана на некоторых фундаментальных верованиях. Поражаясь применимости соотношений к каждой практической проблеме, они верили, что дроби (да, простые разделенные числа) являются божественными, поскольку они могут объяснить все, происходящее в мире.
Следовательно, все, происходящее в мире можно выразить при помощи отношений, верно?
А теперь представьте их удивление, когда они, с помощью недавно сформулированной теоремы Пифагора, открыли число квадратного корня из 2. Это иррациональное число («иррациональные числа» не могут быть представлены в виде дроби) противоречит мировому порядку, выраженному в божественности отношений, и ставит под сомнение всю их философию.
Напуганные последствиями этого революционного открытия, они решили никому об этом не рассказывать. Говорят, они даже утопили Гиппаса, человека, сделавшего это открытие. Достаточно научный метод, не так ли?
2. Бесконечность
Открытие иррациональных чисел, будучи ужасным само по себе, привело греков к еще более пугающему открытию: бесконечности. Поскольку иррациональные числа характеризуются бесконечным количеством десятичных знаков, грекам пришлось придумывать объяснение для бесконечного ряда цифр, который может быть создан. Определение бесконечности и сегодня сложно для объяснения, что уж говорить о веке, когда религия была связана с наукой, и математическая вера не должна бросать вызов нашему пониманию Бога.
И что сделали греки? Философы, как Аристотель и Платон, отбросили определение абсолютной бесконечности, и математики придумали изобретательные способы обойти необходимость бесконечности в геометрии. Например, Евдокс Книдский открыл метод исчерпывания для расчета площади фигур.
Только в конце 17-го века Ньютон и Лейбниц, используя бесконечно малые числа, предложили учитывать бесконечность, а известный символ бесконечности ввел Джон Уоллис в 1655 году.
3. Апории Зенона
Греки и впрямь доходили до крайности, когда речь шла о философских рассуждениях. После того как его предок Гераклит заявил, что все в мире постоянно изменяется, Парменид сказал, что ничего не меняется. В результате движение – не более чем иллюзия, а потому его невозможно объяснить при помощи математики (этого языка истины, каким ее считали греки).
Зенон, один из учеников Парменида, придумал серию парадксов, призванных доказать иррациональность движения. Самый известный из них, об Ахиллесе и черепахе, начинается так: «Ахиллес соревнуется в беге с черепахой, которой, как более медленной, дается фора в 100 метров».
Если мы примем, для упрощения, что скорость двух участников постоянна, а Ахиллес в 10 раз быстрее черепахи, тогда мы можем заключить, что когда Ахиллес достигнет стартовой позиции черепахи, она отбежит на 10 метров. Таким образом, Ахиллес будет пытаться ее догнать, но каждый раз, когда он будет достигать следующей точки, черепаха будет сдвигаться еще на метр.
Эта математическая задача, будучи простой и понятной сама по себе, приводит нас к парадоксальному заключению: Ахиллес никогда не догонит черепаху, и неважно, насколько он быстр. Поздравления Зенону, он сделал так, что движение звучит нелогично.
Считалось, что парадоксы Зенона веками будут принадлежать к царству метафизики и занимать умы философов и математиков, но сегодня их можно объяснить исчислением, математическим инструментом, которого не было у греков. А потому давайте «двигаться» дальше.
4. Лента Мёбиуса
Забавно выглядящая лента Мёбиуса, которая также была независимым образом открыта в 1858 году невезучим Листингом, чье имя не вошло в историю математики, представляет собой поверхность с одной стороной и одной гранью. Она часто используется как головоломка для юных математиков.
Вы можете с легкостью изготовить ее из ленты бумаги, перекрутив ее и соединив концы.
Будучи примером неориентируемой поверхности, лента Мёбиуса не так потрясла основы математики, как другие открытия в этом списке, но она вдохновила математиков придумывать другие неориентируемые поверхности (например, бутылка Клейна) и многие практические приложения, такие как резисторный пояс. Интересна версия происхождения названия «бутылка Клейна»: Клейн, придумавший эту концепцию, изначально назвал ее Fläche, что по-немецки означает «поверхность» и звучит похоже на Flasche, что означает «бутылка». То, что она выглядит, как бутылка, способствовало закреплению названия.
5. Несчетность действительных чисел Кантора
Иметь дело с бесконечностью — само по себе не праздник, а еще и Кантор в 1874 году доказал существование разных видов бесконечности. В частности, доказывая несчетность действительных чисел, Кантор доказал, что это множество больше, чем и без того бесконечное множество натуральных чисел.
В 1891 году он также предоставил диагональное доказательство, настолько изящное, что оно было позже принято в качестве инструмента доказательств с помощью парадокса. Его наблюдение породило теорию кардинальных чисел, а также парадоксы, касающиеся вопроса: со сколькими бесконечностями вы можете справиться?
6. Парадокс Расселла
В 1901 году Расселл обнаружил слабое место в устоявшейся к тому времени теории множеств Кантора, что привело его к противоречию которое проглядел математический мир. Согласно этой теории, любое собрание вещей может быть множеством.
Пример противоречия, приведенный Расселлом, также называемый парадоксом цирюльника, заключается в следующем. Представьте город, в котором есть особый закон: каждый мужчина, не бреющийся сам, должен бриться у городского цирюльника. Каверзный вопрос, на который вы можете попытаться ответить самостоятельно, звучит так: «Кто бреет цирюльника?»
Это открытие привело его к оспариванию многих основ предыдущей теории множеств и созданию новой, которая, будучи более сложной, чем предложенная позднее теория множеств Цермело-Френкеля, не прижилась.
7. Теорема Гёделя о неполноте
Если предыдущие события кажутся способными создать слегка неудобные моменты, подождите следующую неудобную черепаху (которая еще хуже, чем Ахиллесова).
Мы говорим о ХХ веке. Люди не просто хотели знать. Они хотели знать, возможно ли знание, и доказать это. К сожалению для них и для человеческой потребности в понимании вселенной, Гёдель опубликовал в 1931 году две теоремы, известные как теоремы о неполноте.
Объяснение их технической части так же сложно, как и их выводы, но Гёдель доказал следующее. Если рассматривать последовательную и полную систему, такую как арифметический язык, есть утверждения, которые являются истинными, хотя и не могут быть доказаны. Он проиллюстрировал правдивость своей теоремы простым утверждением, к которому его привел «Парадокс лжеца»: «Это утверждение не может быть доказано». Если это истина, тогда данное утверждение правдиво и не может быть доказано. Если оно ложно, тогда утверждение может быть доказано, что противоречит исходному условию о том, что оно недоказуемо.
Это были очень плохие новости для математики, лишавшие первоначального взгляда на объяснение абсолютной истины. Это было также ужасное возвращение к Гильбертовскому поиску знания, выраженному в его лозунге «Мы должны знать – мы будем знать».
8. Теорема Тарского о невыразимости арифметической истины
Кажется, Тарский был вдохновлен отчаянием, порожденным Гёделем. В 1936 году он представил доказательство проблемы невыразимости.
Несмотря на то, что наблюдения, сделанные Тарским, также включены в работу Гёделя, утверждается, что работа Тарского имеет более сильное философское влияние. Тарский смог прийти к общему выводу, что язык не может выражать истину, заключающуюся в нем же (прим.: «понятие арифметической истины не может быть выражено средствами самой арифметики»). Хотя это важное ограничение, он полагает достаточным использование более мощного метаязыка для выражения истины в более простом языке.
Обычный человек может подумать, что это решает проблему, но для математиков поиск «одного языка, чтобы править всеми» (отсылка к Кольцу всевластия Толкина, — прим. перев.) не является таким уж утешением.
9. Проблема остановки
Алан Тьюринг попытался взяться за решение проблемы, касающейся, говоря простыми словами, поиска алгоритма, который может ответить, истинно утверждение или нет. Чтобы подойти к решению этой концептуально простой, но трудно решаемой проблемы, он перефразировал ее, сведя к проблеме остановки: есть ли машина, которая может сказать вам, будет ли программа останавливаться на заданной проблеме?
Остановка означает, что она не будет вечно двигаться по кругу. Но как вы докажете непригодную операцию машины, о которой знаете столь мало? Вот здесь и пригодятся парадоксы.
Алан Тьюринг начал с допущения существования машины, которой дана входящая программа и задача отвечать на вопрос, остановится она или нет. Затем он дополнил эту машину закольцовкой ее выходных данных обратно в нее же, если ответ был «да», и остановкой, если ответ был «нет».
Итак, будет ли дополненная машина останавливаться на проблеме остановки? Ответ Алана таков: если да, то нет, если нет, то да. Звучит как плохие новости для логики.
10. Теорема отсутствия бесплатных обедов
Переход в XXI век означал переход от чистой, почти философской математики к прикладным областям, таким как статистика и оптимизация.
Если вы считаете себя поклонником оптимизации, не думаете ли вы, что это делает из вас перфекциониста? А не захочет ли перфекционист найти оптимальный способ все оптимизировать?
Похоже, Дэвид Волперт и Вильям Макреди почувствовали эту потребность и выдвинули ответ, который, конечно, был совсем не обнадеживающий (иначе его не было бы в нашем списке). Согласно их «Теореме об отсутствии бесплатных обедов в сфере оптимизации», опубликованной в 1997 году, «два любых алгоритма оптимизации являются равноценными, пока их производительность является средней для всех возможных проблем».
Это может быть душераздирающим, но это не значит, что оптимизация бесполезна. Мы просто никогда не найдем для этого целиком оптимальный способ.
Можно сказать, что эти моменты заставили математический мир ощутить некторое неудобство, но это лишь слегка передает те чувства отчаяния и хаоса, пережитые учеными, когда вселенная утратила смысл. Однако шок это способ продвижения науки вперед.
Были созданы математические поля, мы получили машину Тьюринга, причудливые поверхности и, самое главное, способность пересматривать наше восприятие и соответствующим образом адаптировать наши инструменты.
Эти моменты помогли нашему интеллектуальному развитию.
За исключением теоремы о неполноте. Это было просто разрушительно.
***
Подписывайтесь на наш канал в Telegram!
[customscript]techrocks_custom_after_post_html[/customscript]
[customscript]techrocks_custom_script[/customscript]